ЗАДАЧА 7

Месье Мартен имеет 15 одинаковых с виду монет, одка из которых по весу отличается от остальных четырнадцати. При этом на одной из этих 14 монет «нормального» веса имеется царапина, позволяющая ее опознать.


Месье Мартен предложил трем своим друзьям следующую задачу: как найти отличающуюся по весу монету с помощью чашечных весов не более чем за три взвешивания? После пятиминутного размышления один из трех друзей, месье Бертран, видный математик, показал месье Мартену, что эта задача неразрешима.

Как рассуждал месье Бертран?

Решение:

Месье Бертран рассуждал следующим образом.

Как и в случае задачи 3, каждое взвешивание не может дать нам больше, чем возможность выделить одну из трех групп, содержащих определенное (конечно, целое) число монет в качестве «подозрительных».

Одно взвешивание позволяет выбрать одну из трех возможностей, два взвешивания — одну из девяти и три взвешивания — одну из двадцати семи возможностей.

Но искомая монета может совпадать с любой из четырнадцати непоцарапанных монет, и при этом она может оказаться легче или тяжелее остальных.

Таким образом, мы имеем двадцать восемь возможностей, т. е. на одну больше, чем удается выделить с помощью трех взвешиваний. Значит, в любом случае нам не удастся найти монету, отличную от других по весу.

Это можно пояснить на следующем простом примере.

Одно взвешивание позволяет выбрать одну из трех возможностей. Рассмотрим следующую задачу: среди четырех одинаковых по виду монет найти ту, которая отличается по весу от остальных. При первом взвешивании сравниваются две монеты с двумя другими. Левая чаша весов перевешивает, это означает, что:

либо искомая монета тяжелее остальных и находится на левой чаше весов,

либо она легче остальных и находится на правой чаше весов.

Таким образом, у нас осталось четыре возможности. Можно ли в любом случае найти искомую монету с помощью одного дополнительного взвешивания?

Месье Бертран утверждает, что это невозможно, поскольку одно взвешивание позволяет выбрать только одну из трех возможностей.

Эту ситуацию легко представить с помощью принятой нами системы обозначений. Перенумеруем монеты цифрами от 1 до 4.

Результат первого взвешивания записывается в виде 1 2\3 4.

Четыре вышеупомянутые возможности таковы:

1 или 2 = L
либо
3 или 4 = l.

Что можно сделать при втором взвешивании? Либо сравнить одну монету с другой, либо сравнить две монеты с двумя другими.

Если сравнивается одна монета с другой, то остаются еще две монеты; и если искомая монета находится среди них, то для ее определения требуется третье взвешивание.

Если же сравниваются две монеты с двумя другими, то нам не остается иной возможности, как сравнивать по весу 1 3 с 2 4 (или 1 4 с 2 3, что фактически то же самое).

При этом весы остаться в равновесии не могут. Если они отклонятся влево, то

1 или 3 = L либо 2 или 4 = l.

Учитывая результат первого взвешивания, мы получим, что

либо 1 = L, либо 4 =l.

Остаются две возможности — и, чтобы выбрать одну из них, снова требуется третье взвешивание.

Точно так же в случае двадцати восьми возможностей в некоторых случаях после третьего взвешивания остаются две возможности — и, чтобы выбрать одну из них, необходимо четвертое взвешивание.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка