ЗАДАЧА 6

На каждую чашу весов кладут по 40 одинаковых с виду монет. Одна чаша весов перетягивает, так как одна из монет отличается по весу от остальных 79.

Можно ли обнаружить эту монету с помощью четырех дополнительных взвешиваний?

Решение:
Разделим монеты на шесть групп; три группы (а, b и с) выберем из числа монет, находящихся на левой чаше весов, и три группы (d, e и f) — среди монет, находящихся на правой чаше.

В группе а содержится 14 монет; в группе b — 14; в группе c— 12; в группе d— 13; в группе е— 13 и в группе f — 14 монет. Предположим, что весы отклонились в сторону групп аbс.

При первом взвешивании сравниваются монеты групп a и d (пусть 27 монет этих групп находятся на левой чаше весов) с монетами групп b и е (пусть 27 монет этих групп находятся справа).

Если весы отклонятся влево, то либо искомая монета находится в группе а и она тяжелее остальных, либо она находится в группе е и легче остальных.

Если весы окажутся в равновесии, то либо искомая монета находится в группе с и тяжелее других, либо она — в f и легче остальных.

Если весы отклонятся вправо, то либо искомая монета находится в группе b и тяжелее остальных, либо она — в группе d и легче остальных.

Эти три случая вполне аналогичны друг другу. Рассмотрим, например, первый случай. Разобьем группы а и е на шесть более мелких групп:

a = g + h + i; e = f + k + т.

Группа g содержит 5 монет; h — тоже 5; i — 4 монеты; j — 4; k — 4 и т — 5 монет.

При втором взвешивании сравниваются группы g, k (пусть в них входит 9 монет) и f, h (пусть в них также входит 9 монет). Как и в предыдущем взвешивании, если весы отклонятся влево, то либо искомая монета находится в группе g и тяжелее других, либо она находится в группе j и легче остальных.

Здесь также возможны три аналогичных случая, из которых мы рассмотрим лишь первый.

Разобьем группы g и j на шесть новых групп:

g = п + р + q; j = r + s + t,

где п содержит 2 монеты; р — тоже 2; q — одну монету, так же как r и s; t содержит 2 монеты.

При третьем взвешивании сравниваются n, r и р, s.

Как и раньше, получим, что если весы отклонятся вправо, то либо искомая монета находится в группе p и тяжелее других, либо она находится в группе r и легче остальных.

При четвертом и последнем взвешивании сравниваются две монеты из группы, содержащей два элемента (в нашем примере — из группы p).



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка