Задача 17. Площадь сада — по числу яблонь

При планировании посадок яблонь прямоугольный участок, отведенный под сад, был весь разделен на единичные квадраты.

В каждую вершину каждого единичного квадрата (назовем их узловыми точками) высадили яблоню. Шло время. Изменилась форма периметра сада. Теперь очертание границ сада имеет форму многоугольника с вершинами в узловых точках (рис. на с. 465 вверху). В каждой узловой точке внутри многоугольника и на его границах растет яблоня.

Школьники, приехавшие помогать сборщикам яблок, спросили садовода: «Как велика площадь яблоневого сада?» В ответ садовод предложил школьникам самим вычислить площадь сада по формуле
S=N-1+m2(кв ед)

где N — число яблонь внутри многоугольника, ограничивающего сад, М— число яблонь на его периметре, включая яблони, расположенные в вершинах многоугольника, а потом и вывести эту удивительную формулу.

Вечером, после работы, ребята убедились в правильности формулы на примере трапеции, нарисованной на клочке клетчатой бумаги (см. рис.), а рассмотрением общего случая решили заняться на школьном кружке.

Для трапеции получилось: N= 16, М= 14, откуда S= 16 — 1 + 7 = 22 (кв. ед.).

По формуле для площади трапеции:

S=(a+b)/2h, S=(3+8)/2 = 22 (кв. ед.).
Снимок
1

Решение:
2
Выделим внутри многоугольника какой-либо прямоугольник с длинами сторон а и Ь, вершины которого — в узловых точках (см. рте.). Так как в каждой узловой точке — яблоня, то на границах выделенного прямоугольника находится М= 2(a + b) яблонь, а внутри прямоугольника — N= (а — 1) • (b — 1) яблонь. Так как его площадь S-а*b, то
S= N— 1 + m/2 (кв. ед.).



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка