ЗАДАЧА 16

В куб размерами 1x1x1 вложен тетраэдр ABCD так, что все его 6 ребер являются диагоналями граней куба (см. рис.).


Снимок
Значит, длина каждого ребра тетраэдра равна sqrt(2). Чтобы найти объем этого тетраэдра, потребуется еще несколько шаблонно-вычислительных действий. При таком, по сути — алгебраическом, подходе к отысканию

Решение:

объема тетраэдра исчезает красота и аромат геометрической задачи. Надо решить ее, используя только простые геометрические рассуждения и соотношения, не пользуясь при этом ни карандашом, ни бумагой, ни калькулятором, и ничего не достраивая на приведенном рисунке.

Решение. Представим, что тетраэдр удален из куба; останутся четыре равные треугольные пирамиды с вершинами в неотмеченных буквами вершинах куба (см. рис. на с. 463). Рассмотрим одну из них, образованную треугольником CBD и нижней вершиной куба.

Основание пирамиды — треугольник (заштрихованный), площадь которого равна 1/2 кв. ед., высота ее — ребро куба, следовательно, равна 1. Объем этой пирамиды равен 1/3*1/2=1/6 куб. ед., а четырех таких пирамид — 2/3 куб. ед.

Следовательно, на долю тетраэдра остается 1/3 куб. ед.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка