ЗАДАЧА 11

Имеется n одинаковых по внешнему виду монет, одна из которых отлична по весу от остальных.


За сколько взвешиваний можно отыскать эту монету и определить, легче она или тяжелее остальных? Отличие этой задачи от предыдущих заключается в том, что теперь в нашем распоряжении нет заведомо стандартной (помеченной или поцарапанной) монеты.

Решение:
Пусть Zn — наибольшее возможное число монет, такое, что если одна из этих монет отлична по весу от остальных, то ее можно найти за n взвешиваний и при этом определить, легче она или тяжелее остальных.

При первом взвешивании мы на каждую чашу весов кладем по а монет и b монет оставляем в стороне.

Так как в случае равновесия весов мы приходим к ситуации предыдущей задачи, где число «подозрительных» монет равно b и число требуемых взвешиваний равно n— 1, то естественно требовать, чтобы

b=Yn-\ = (3^(n-1) — 1)/2.

В лучшем случае при нечетном Xn мы получим

2а = Xn— 1 = 3^(n-1) — 1,

и, значит,

Zn = 2a+b = (3^(n-3))/2.
Можно показать с помощью соответствующего способа взвешивания, что это значение zn действительно удовлетворяет всем нашим требованиям — для этого достаточно указать соответствующую процедуру взвешивания, позволяющую найти искомую монету.

Разделим Zn монет на 3 равные части, по (З^(«-1) — 1)/2 монет в каждой части, и поместим по одной такой части на каждую чашу весов, а третью часть монет оставим в стороне.

Если весы окажутся в равновесии, то все сведется к задаче 12.

Если же равновесие весов нарушится, то мы придем к условиям задачи 11 с той лишь разницей, что общее число монет окажется на единицу меньше, чем ранее.

Теперь, вооруженные этими данными, мы можем снова обратиться к задаче 10.

С помощью пяти взвешиваний можно обнаружить искомую монету, самое большее, среди Z5 монет. Но Z5 = (З^5 — 3) /2 = 120; значит, искомая вероятность равна

120/200 = 3/5.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка