ВЫБОРЫ ПРЕЗИДЕНТА КЛУБА

На выборах президента клуба 48 его членам предлагалось голосовать за трех кандидатов — Жака, Пьера и Бернара.

Каждый член клуба должен на выданном ему листке для голосования перенумеровать трех кандидатов в порядке предпочтения. При подсчете голосов выяснилось, что Жак оказывался впереди Пьера чаще, чем Пьер впереди Жака. Пьер оказывался впереди Бернара чаще, чем Бернар впереди Пьера. Однако президентом клуба был избран именно Бернар.

Как это оказалось возможным? Попробуйте объяснить этот парадокс.

Решение:

Эта задача часто встречается в сборниках математических головоломок. Но подход к ней часто оказывается малореалистичным, поскольку предлагаемое решение не имеет никакого отношения к тому, что может произойти на реальных выборах.

Мы считаем, что система выборов такова: избирается кандидат, который чаще других оказался на первом месте; голоса же, поданные за второго и третьего кандидатов, никак не учитываются (пропадают) — такая система выборов довольно обычна.

Против такого вывода можно выдвинуть два возражения:

во-первых, та система голосования, которая фигурирует в нашем примере, довольно неудачна;

во-вторых, распределение голосов, соответствующее условию задачи, малореалистично.

Действительно, весьма маловероятно, чтобы 17 членов клуба поставили Бернара на первое место, а остальные 31 —только на последнее место. Гораздо более правдоподобна ситуация, когда кандидат, победивший с весьма незначительным преимуществом, встречался определенное число раз и под вторым номером. Тем не менее нет ничего невозможного в предположении, что один из двух других кандидатов оказывался перед Бернаром большее число раз, чем он перед этим кандидатом, как это видно из следующего примера:
Снимок
В этом примере Бернар оказался на первом месте 17 раз и, следовательно, победил.

Распределение голосов здесь вполне реалистично Однако легко видеть, что Бернар оказался впереди Пьера 23 раза, тогда как Пьер оказался впереди Бернара 25 раз.

Все дело здесь в системе голосования. Выбор, который совершается избирателями, не всегда одинаково важен: прежде всего нужно учитывать выбор кандидата, помещаемого на первое место; в том же случае, когда на первом месте стоит Бернар, не так уж важно, стоит ли Пьер впереди Жака или наоборот.

Другими словами, в 23 случаях, когда Бернар шел впереди Пьера, Бернару удалось занять 17 первых мест, тогда как в 25 случаях, когда Пьер шел впереди Бернара, Пьеру удалось занять лишь 15 первых мест. Эта разница на два в числе первых мест важнее, чем разница на четыре в случаях, когда Пьер и Бернар стояли в том или другом порядке на втором и третьем местах.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка