ВОЗРАСТ ПАСТУХА

Пастух заметил, что произведение числа его баранов на число его баранов, уменьшенное на единицу, ровно на 15 больше, чем произведение его собственного возраста на число его баранов, уменьшенное на 2.


Сколько лет пастуху?

Решение:
Пусть п — число баранов и а — возраст пастуха, тогда

n(n — 1) = 15 + а(n — 2),

или

n^2 — (а + 1 )n + 2а — 15 = 0.

Так как п — целое число, дискриминант этого квадратного уравнения с неизвестным п должен равняться квадрату некоего целого числа; обозначим это число через b. Тогда

(а + 1)^2 — 4(2а — 15) = b^2,

а^2 — 6а + 61 — b^2 = 0.

Но а тоже целое число; поэтому дискриминант последнего квадратного уравнения с неизвестным а также равняется квадрату целого числа; обозначим его через с. Тогда

9 — 61 + b^2 = с^2

или

b^2 — c^2 = 52, т. е. (b + c)(b — c) = 52 = 2 x 2 x 13.

Единственное решение этого последнего уравнения в целых числах таково: b = 14, с= 12.

Итак, пастуху 15 лет.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка