Угадать результат вычислений, ничего не спрашивая

Есть и такие закономерности в математике, которые приводят к заранее намеченному результату выполнения определенных действий, каковы бы ни были исходные числа. Отсюда возникают очень интересные способы «угадывания» результата вычислений, ничего не спрашивая у задумавшего число.

Следующие два фокуса иллюстрируют это положение. Эти фокусы можно проводить как с одним участником, так и с целой группой участников.
Фокус 1. Предложите умножить задуманное число на произвольно выбранное вами число, а к полученному произведению п р и б а в и т ь число, тоже произвольно вами выбранное. Сумму предложите разделить на третье вами же произвольно данное число. Вы в это время разделите в уме первое из названных вами чисел на третье и какое число у вас получится, предложите участнику фокуса столько раз отнять от полученного им частного задуманное число. Этот последний результат вы и угадаете. Он будет равен частному от деления второго из предложенных вами чисел на третье.
Пример. Предположим, задумано 6. Вы предлагаете умножить задуманное число на 4 (заметьте для себя это число, как первое). Получается 24. Предлагаете прибавить 15 (второе число); получается 39. Предлагаете разделить на 3 (третье число); получается 13. Вычисления в уме: 4:3= P/g. Предлагаете участнику фокуса отнять от полученного им частного (от 13) задуманное число да еще одну треть его. Он отнимает 6 да еще 2 — всего 8 и получает 13 — 8 = 5.
Вы в это время выполняете в уме деление второго из предложенных вами чисел (15) на третье (на 3) и тоже получаете число 5, которое и объявляете как ожидаемый результат.
Докажите, что такое совпадение результатов не случайно, а вполне закономерно.
Фокус 2. Напишите какое-нибудь число между 1 и 50 на кусочке бумаги и спрячьте, не показывая участникам фокуса.
В свою очередь, пусть каждый участник напишет, какое он пожелает, число, большее, чем 50, но не превышающее 100, и, не показывая вам, произведет следующие действия:
1) прибавит к своему числу 99 — л;, где х— число, написанное вами на кусочке бумаги (эту разность вы в уме подсчитайте и назовите участникам фокуса только готовый результат);
2) зачеркнет в получившейся сумме крайнюю левую цифру и эту же цифру прибавит к оставшемуся числу;
3) получившееся число вычтет из числа, первоначально им написанного.
В результате у всех участников получится одно и то же число, именно то, которое было вами предварительно спрятано.
Пример. Число, написанное вами и спрятанное: 18; число, написанное одним из участников: 64. Предлагаете прибавить 99—18 = 81. Получается: 64 —]— 81 = 145.
Цифра 1 зачеркивается и прибавляется к оставшемуся числу: 45+1 = 46. Разность между задуманным числом (64) и полученным (46), 64 — 46=18, как раз и дает спрятанное вами число (18).
Как и всегда, вы, конечно, прежде всего постараетесь уяснить математическую основу возможности предвидения результата выполнения указанных действий.

Решение:

Фокус 1. Действия, которые в данном случае производятся над задуманным числом и, можно выразить так (na+b)/c, а это выражение представить в видеna/c+b/c . Ясно, что, вычитая n/a/c, получим остаток b/c.
Замечание. Всегда возможно подобрать такие числа чтобы дробей не получалось.
Фокус 2. Обозначим буквой x число, заранее написанное вамп а буквой у—число, написанное участником фокуса. Перш действие, выполненное участником, приводит к числу у + 99 — х. Так как, по условию, х не более 50, а у — в пределах от 51 до 100, то y+ 99 — х не меньше 100, но и in больше чем 199, то-есть непременно трехзначное число, цифр! сотен которого 1. Зачеркнуть в таком числе 1 —это значит уменьшить его на 100; поэтому второе действие, выполнении участником, приводит к числу 99 — х—100 + 1 =y- х. Последнее действие, у — (у — x) =x, приводит к числу что и требовалось доказать.
Замечание. Вы можете разрешить участникам фоку задумывать числа в другом диапазоне, например между 201 и 1000, но тогда и спрятанное число должно быть не меньше 100 и не больше 200, а в дальнейших расчетах должно yпотребляться число 999 вместо 99.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка