Рассуждения вместо уравнения

Каждому человеку, сколько-нибудь изучавшему математику, знакомы те или иные приемы арифметики, или, может быть, алгебры и других разделов математики, при помощи которых он и решает математическую задачу.

Есть, конечно, задачи совершенно непосильные человеку, не владеющему хотя бы алгеброй, но есть, естественно, и такие, перед которыми не следует отступать даже и тому, кто не умеет составлять и решать уравнения. Ведь может еще помочь самый обыкновенный здравый смысл, наблюдательность, рассудительность. Это — тоже законные приемы решения задач. Вот и решите-ка «по соображению» следующие 2 задачи:
Задача 1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращенное» число будет в 4 1/2 раза больше данного. Что это за число?
В условии задачи данных немного, но, искусно их используя, можно решить эту задачу одними «рассуждениями» примерно так:
а) Искомое число больше 10, так как оно двузначное.
б) Но оно меньше 25, так как 25 X 4 1/2 — число трехзначное.
в) Искомое число четное, так как при умножении его на 4 1/2 получается число целое.
г) Обращенное число по условию в 9 раз больше половины данного числа, значит, обращенное число кратно 9.
д) Так как обращенное число кратно 9, то сумма его цифр делится на 9, а данное число состоит из тех же цифр, что и обращенное, значит, и оно кратно 9.

Найдите продолжение этих рассуждений и закончите решение задачи.

Задача 2. Произведение четырех последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.
Для «логического» решения этой задачи можно предложить следующую схему рассуждений:
а) Установить, что среди искомых чисел нет числа 10.
б) Среди искомых чисел должны быть числа, меньшие 10.
в) Из пунктов а) и б) и из условия задачи вывести, что все искомые числа меньше 10, то-есть однозначны.
г) Установить, что среди искомых чисел нет числа 5.
д) Разбить все остальные однозначные числа на
2 группы в соответствии с условием задачи и выяснить, какая группа удовлетворяет условиям задачи.

Решение:

1. Установлено, что искомое число четное и кратное, следовательно, оно кратно 18. Установлено также, что оно больше 10, но меньше 25. Отсюда сразу следует, что искомое число 18, так как между 10 и 25 число 18—единственное число, делящееся на 18.
Проверка: 18X41/2=81.
2. а) Среди искомых чисел нет числа 10, так как иначе их произведение оканчивалось бы нулем.
6) Если бы все искомые числа были больше 10, то произведение их было бы больше 10*10*10*10, то-есть больше 10 000. Значит, среди искомых чисел должны быть числа, меньшие 10.
в) Установлено, что по крайней мере одно из искомых чисел меньше 10. Но искомые числа по условию отличаются одно от другого последовательно на 1 и так как ни одно из них не должно равняться 10, то, следовательно, все 4 искомых числа меньше 10 (однозначные).
г) Среди искомых однозначных чисел нет 5, так как в противном случае было бы и число 4 или 6, а следовательно, произведение искомых чисел оканчивалось бы нулем. .
д) Рассмотрим 2 возможные группы однозначных чисел, удовлетворяющих условию задачи:
Д1) 1, 2, 3, 4 и д2) 6, 7, 8, 9.
Первая группа отпадает, так как 1 • 2*3*4 = 24; следовательно,
если задача имеет решение, то искомое число могут образовать только числа: 6, 7, 8 и 9.
Проверка: 6*7*8*9 = 3024.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка