Побеждает чет

Из 27 спичек, лежащих на столе, двое играющих поочередно отнимают не менее одной и не более четырех спичек. Выигравшим считается тот, у кого по окончании игры окажется четное количество спичек.

Как игру выиграть?

Решение:

Правильное ведение игры и на этот раз обеспечивает победу тому, кто делает первый ход. Но найти верный путь к победе над «противником» в этой игре труднее, чем в предыдущих.
Начинающий игру первым ходом должен взять 2 спички, а затем в зависимости от того, сколько спичек берет «противник», придерживаться следующего правила.
Если у «противника» четное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 больше кратного шести (19, 13, 7); если у «противника» нечетное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 меньше кратного шести (23, 17, 11, 5), а если это окажется невозможным, то оставить ему количество спичек, кратное шести (24, 18, 12, 6).
Вы берете, например, 2 спички, а ваш «противник» 4 или
2 (четное число). Остается 27 — 6 = 21 спичка или 27 — 4 — = 23 спички. В соответствии с правилом вы берете 2 спички или 4, чтобы оставить «противнику» 19. Если же «противник» взял 3 спички (нечетное число), то осталось 27 —5 = 22 спички. Так как до 17 спичек довести остаток вы не можете (нельзя взять 5 спичек), то вам следует взять 4 спички, чтобы остаток составил 18. Если «противник» взял одну спичку, то и вам следует взять одну спичку, чтобы остаток составил 27 — 4 = 23 спички, и т. д.
Правило это вытекает из следующих рассуждений (играют А и В) :
1) Пусть к концу игры на столе осталось 5 спичек. Это выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (Так как взято 22 спички, то А при этом может иметь тоже только нечетное число спичек.) Можно рассмотреть все варианты возможного продолжения игры:

ScreenShot - 2013-08-03 в 22.38.15

Если же В (а значит и А) имеет четное число спичек, то оставлять на его ход 5 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу (убедитесь!).
2) Пусть к концу игры на столе осталось 6 спичек. Это тоже выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (При этом А, очевидно, имеет четное число спичек.) В самом деле:

ScreenShot - 2013-08-03 в 22.38.19

Если же В имеет четное число спичек (значит, А — нечетное), то оставлять на его ход 6 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять. одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся пяти спичках (см. n° 1).
3) Пусть к концу игры осталось на столе 7 спичек. Это
выгодно для А только в том случае, когда следующий ход
8 и он имеет четное число спичек. (При этом А, очевидно имеет тоже четное число спичек.) В самом деле:

ScreenShot - 2013-08-03 в 22.38.24

Если же В (а значит и А) имеет нечетное число спичек, то оставлять на его ход 7 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся 6 спичках (см. п° 2).

4) Оставлять после своего хода 8, 9 или 10 спичек во всех случаях для А невыгодно — ведет к проигрышу. Пусть, например, после хода А на столе осталось 8 спичек. Возможны 2 случая:

а) А имеет нечетное число спичек, В—четное; В берет

3 спички. Теперь у нею тоже нечетное число спичек. Остается на столе 5 спичек. В этом случае, как известно (см. n° 1), проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит А проигрывает.

б) А имеет четное число спичек, В — нечетное; В берет одну спичку. У него становится четное число спичек. Остается на столе 7 спичек. В этом случае, как известно (см. п° 3), тоже проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит А проигрывает. Такая же возможность повернуть игру в свою пользу появляется увив тех случаях, когда А после своего хода оставит на столе 9 или 10 спичек. Анализ этих случаев проведите самостоятельно.

5) При дальнейшем увеличении числа спичек, оставленных на столе после хода А, то-есть для 11, 12, 13, … спичек, условия выигрыша повторяются в том же порядке, как для 5, 6, 7, … оставленных спичек, что и подтверждает высказанное выше правило ведения игры «на выигрыш».

Пусть, например, после хода А осталось на столе 11 спп-чек. Нетрудно показать, что А выигрывает, если у в (а значит и у самого А) нечетное число спичек. Действительно,

ScreenShot - 2013-08-03 в 22.48.00

Рассмотрите сами еще несколько случаев, хотя бы, например, для 12 и 13 оставленных спичек.

6) Остается еще показать, почему при 27 спичках первым ходом следует брать именно 2 спички — не больше и не меньше. Если вы возьмете 1 спичку, то «противник» может взять 2; останется 24 спички, и вам не удастся оставить ему 19 спичек, как того требует правило.

Если вы возьмете 3 спички, то «противник» может взять 1; останется 23 спички. Ход ваш, а при 23 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет нечетное число спичек и лг лает очередной ход (см. п° 5).

Если вы возьмете 4 спички, то и «противник» возьмет столько же; останется 19 спичек. Ход ваш, а при 19 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет четное число спи чек и делает Очередной ход (см. п° 5).

Если же вы возьмете 2 спички, то, сколько бы ни шил «противник», вы сможете повернуть игру в свою пользу в соответствии с правилом.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка