ПИРАМИДА ПИФАГОРА

Жаль, что древние египтяне, соорудившие величественную пирамиду Хеопса, не догадались возвести еще одну — правильную четырехугольную усеченную пирамиду (рис.) с произвольно выбранными размерами а и b сторон ее оснований и диагональю d—а + b.

Снимок

Такое сооружение заслуженно можно было бы назвать «пирамидой Пифагора», так как сумма площадей ее оснований a^2 + b^2 неизбежно равнялась бы квадрату длины (с) бокового ребра: а^2 + b^2 = c^2. Докажите!

При а = 3, Ьb = 4 и d=3 + 4 ребро пирамиды равнялось бы с = 5, и человечество получило бы пространственное воплощение в камне соотношений египетского (исторически правильнее — индийского) треугольника.
а
Забавно, что «египетские» размеры «пирамиды Пифагора» (стороны оснований а =3, b = 4 и ребро с = 5) являются решением диофантова уравнения

a^3 + b^3 + c^3 = (c+1)^3

Единственным ли?

Решение:
1
Построим диагональное сечение AA1CC1 пирамиды (рис.). Имеем: AC=a*2^1/2, A1C1 =b*2^1/2. По условию,

а + b= d; ЕС = (2^1/2 (a-b))/2 Из треугольника AC1C
a^2 = 2a^2 +c^2-2a*2^1/2 (2^1/2 (a-b))/2

а^2+ b^2 + 2ab = 2а^2 + с^2- 2а^2 + 2аb,

откуда

a^2=b^2=c^2



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка