От противного

Представьте себе, что имеются два утверждения «А» и «Б», взаимно исключающие друг друга. Из них справедливо, конечно, только какое-нибудь одно. Предположим, требуется доказать справедливость утверждения «А».

Вместо непосредственного, прямого доказательства справедливости утверждения «А» прибегают иногда к косвенному доказательству, то-есть доказывают, что противоположное утверждение «Б» несправедливо, так как приводит к противоречию с достоверными фактами. Этот метод рассуждений, называемый «доказательством от противного», широко применяется в геометрии, в школьном курсе алгебры, иногда в арифметике. Однако его с успехом можно применять не только для доказательства теорем, но даже для решения задач.
Рассмотрим применение метода рассуждений «от противного» на примере такой задачи.
Сумма двух чисел 75. Первое из них на 15 больше второго. Способом рассуждения «от противного» доказать, что второе число равно 30.
Решение. Предположим, что второе число не равно 30, тогда оно либо больше 30, либо меньше 30. Однако если второе число больше 30, то первое больше 45 и сумма их больше 75, что противоречит условию. Если же второе число меньше 30, то первое меньше 45 и сумма их меньше 75, что также противоречит условию.
Следовательно, второе число равно 30.
Следующие 2 задачи решите рассуждением «от противного»:
Задача 1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хотя бы один из сомножителей больше 8.
Задача 2. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Решение:

1) Предположим, что ни один из сомножителей не больше 8. Тогда возможны 3 случая а) каждый сомножитель равен 8, б) один из сомножителей равен 8, другой меньше 8, в) оба сомножителя меньше 8. Легко видеть, что в каждом из этих случаев произведение меньше 75, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере один из сомножителей больше 8.

2) Предположим, что первая цифра отлична от 1. Тогда она не менее 2, а само число не менее 20. Однако произведение 20 на 5 равно 100, значит, произведение рассматриваемого двузначного числа на 5 не меньше 100, то-есть не является числом двузначным, что противоречит условию. Следовательно, первая цифра данного двузначного числа есть 1.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка