Обнаружить фальшивую монету

Вряд ли в действительности может возникнуть необходимость искать среди одинаковых монет фальшивую при помощи взвешиваний на чашечных весах без гирь, но ради тренировки своей мысли примем эти условия как исходные для решения следующих трех задач «на рассуждения».

Первая задача (легкая). Имеется 9 монет одинакового достоинства. Известно, что 8 из них имеют одинаковый вес, а одна — фальшивая — немного легче остальных. Требуется при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету.

Вторая задача (потруднее). При тех же условиях выделить фальшивую (более легкую) монету из 8 одинаковых монет тоже при помощи только двух взвешиваний.

Третья задача (трудная). Среди 12 монет имеется одна фальшивая. Известно, что фальшивая монета отличается по весу от настоящих, но не известно, легче она настоящих или тяжелее. Настоящие монеты все одного веса. С помощью не более трех взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету и одновременно установить, легче она или тяжелее остальных.

Задачи для самостоятельного решения (без ответов):

Задача 1. Изготовлено 13 деталей. Все они одного фасона и должны иметь одинаковый вес. Но возможно, что в этой партии есть одна деталь (не более чем одна), отличающаяся от остальных по весу.

Тремя взвешиваниями на чашечных весах определить, имеется ли в данной партии нестандартная деталь, и если имеется, то легче она стандарта или тяжелее. Гирь нет, но есть одна дополнительная (четырнадцатая) деталь стандартного веса, которую разрешается ставить на весы.

Задача 2. Обобщим предыдущую задачу. Условия те

же, но число контролируемых деталей равно (3n-1)/2, а навесах разрешается произвести п взвешиваний (n=1, 2, 3…).

Решение:

1. Разбиваем 9 монет на 3 равные группы и кладем по 3 монеты на каждую чашку весов (первое взвешив а н и е); третью группу оставляем в стороне. Возможны 2 случая.

Первый случай. Весы остаются в равновесии; тогда пеки мая монета — в числе оставленных в стороне. Выбираем ш этих трех оставленных монет любые 2 и кладем по одно Л на каждую чашку весов (второе взвешивание). Если теперь равновесия не будет, то чашка с фальшивой (более легкой) монетой пойдет вверх; если же весы останутся в равновесии, то искомая монета—третья, не попавшая на весы.

Второй случай. Равновесия нет; следовательно, иском ли монета — на той чашке, которая пошла вверх. Таким образом, и в этом случае первое же взвешивание определяет тройку монет, среди которых — искомая. Вторым взвешиванием (так же как и в первом случае) выделяем искомую монету.

2. Решается аналогично первой задаче. Дополнительная трудность здесь в том, что надо догадаться разбить данные здесь 8 монет на неравные группы: две группы по три монеты в каждой и одна группа в 2 монеты. Кладем на весы первые две группы — по 3 монеты на каждую чашку весов (первое взвешивание). Если весы останутся и равновесии, то искомая монета — среди оставшихся двух и ее, как более легкую, сразу выделим вторым взвешиванием. Если же весы не останутся в равновесии, то фальшивая монета — на той чашке весов, которая пошла вверх. Выбираем теперь из этих монет любые 2 в кладем по одной на каждую чашку весов (второе взвешивание). Если равновесия не будет, то опять-таки чашка с фальшивой монетой пойдет вверх; если же весы останутся в равновесии, то искомая монета третья, не попавшая на весы.

8. Вся трудность в том, что относительно фальшивой монеты не известно заранее, легче она или тяжелее и стоящих. Поэтому здесь, разделяя монеты на 3 группы по 4 монеты в каждой группе, необходимо их индивидуализировать, например перенумеровать. На одну чашку пес ш положим первую группу монет, имеющих, скажем, номера I, 2, 3 и 4, а на вторую чашку весов — вторую группу монет с номерами 5, 6, 7 и 8 (первое взвешивание). возможны 2 случая.
Случай А. Весы в равновесии. Следовательно, фальшивая монета — среди третьей группы монет с номерами 9, 10, 11 и 12. Сравним теперь вес трех из них, например девятой, десятой и одиннадцатой, с монетами первой, второй и третьей (второе взвешивание). Если весы останутся в равновесии, то фальшивая монета — двенадцатая, и сравнивая ее, например, с первой, о которой стало известно, что она — настоящая (третье в з в е in и в а и и е), определяем, будет ли фальшивая монета тяжелее настоящей или легче. Если же второе взвешивание не даст равновесия, то фальшивая монета или № 9, или № 10, или №11, причем но положению чашки весов с этими монетами сразу же выясняется, какая она —более тяжелая или более легкая. Допустим, перетянула чашка с монетами №№ 9, 10, 11. Значит, фальшивая — более тяжелая. Чтобы выделить ее из этих трех номеров, достаточно еще одного (третьего) взвешивания. Для этого положим на весы монеты №№ 9 и 10. Тогда либо фальшивая перетянет, либо она под № 11.

Случай Б. Первое взвешивание не привело к равновесию. Перетянула, скажем, чашка с монетам» №№ 1, 2, 3 и 4. Тогда либо искомая монета среди №№ 1, 2, 3 и 4 и более тяжелая, либо среди №№ 5, 6, 7 и 8 и более легкая. Становится известным при этом, что монеты третьей группы под №№ 9, 10, 11 и 12 — настоящие. Вторым в з в е ш и в а и и е м сравним монеты №№ 9, 10, 11 и 5 (три настоящие и одну из группы более легких) с монетами №№ 3, 4, 6 и 7 (две из группы более тяжелых и две из группы более легких). Тогда возможны три случая:

а) Весы в равновесии. Это значит, что выбранные монеты—• настоящие, а фальшивая либо среди №№ 1 и 2 и более тяжелая, либо под № 8 и более легкая. Сравнивая монеты №№ 1 и2 (третье взвешивание), установим, что фальшивая— легкая под № 8, если весы останутся в равновесии, или, что фальшивая — тяжелая № 1 или № 2 — та, которая перетянет.

б) Перетянет группа монет №№ 9, 10, 11 и 5. Тогда в этой группе не может быть фальшивой, так как №№ 9, 10 и 11 настоящие, а если бы фальшивой была монета № 5, взятая из группы более легких, то не могла бы перетянуть чашка с тремя настоящими монетами и одной фальшивой—• легкой. Значит, фальшивая — на второй чашке весов, среди №№ 3, 4, 6 и 7 и именно среди тех, которые взяты из группы более легких, то-есть либо № 6, либо № 7. Более легка в) Перетянет группа монет №№ 3, 4, 6 и 7. Тогда — либо фальшивая монета более тяжелая и, следовательно, находи ни на перетянувшей чашке среди монет, взятых из группы более тяжелых, то-есть фальшивая монета или под № 3, или под № 4. либо фальшивая монета более легкая и, следовательно, находится в группе монет №№ 9, 10, 11 и 5. В последнем случае— это монета № 5, так как известно, что монеты под №№ 9, 10 и 11 —настоящие.

Таким образом, фальшивой монетой может быть одна из трех: № 3 или № 4 (и тогда она более тяжелая), или № 5 (и тогда она более легкая). Кладем на весы монеты №№ 3 и 4 (третье взвешивание), и тогда либо фальшивая (более тяжелая) та из них, которая перетянет, либо, в случае равновесия, фальшивой (более легкой) монетой будет монета № 5.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка