Числовые находки

Есть только два трехзначных числа, любая целпя и положительная степень которых оканчивается теми же тремя цифрами и в том же порядке: 376 и 625.

Как нашли эти трехзначные числа и как установили, что их только два? Это была одна из задач ежегодного конкурса, проводимого журналом «Математика в школе» для всех любителей математической смекалки. Она имеет короткое, но довольно замысловатое решение. Разобраться в нем, конечно, полезно, но еще полезнее приложить собственные умственные усилия к отысканию решения.

Решение:

Пусть n — искомое число. По условию, n2 оканчивается теми же тремя цифрами. Следовательно, разность n2-n оканчивается тремя пулями.

Рассмотрим выражение nk — n, где k — любое целое положительное число. Вынесем n за скобки:

nk — n =n (nk-1 — 1).

Сразу видно, что это выражение делится на и, но оно делится и на n — 1, так как nk-1— 1 делится на n—1. Следовательно, выражение nk—n делится на произведение чисел n и n — 1, то-есть на n2 — n. Но так как n2 — n оканчивается тремя нулями, то и nk — n должно оканчиваться не меньше чем тремя нулями, то-есть и* при любом (целом и положительном) k должно оканчиваться теми же тремя цифрами, что н n. Для решения задачи достаточно, следовательно, ограничиться только теми числами, квадрат которых оканчивается теми же тремя цифрами.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка