ЧЕТЫРЕ ОТКРЫТИЯ В ОДНОЙ ГОЛОВОЛОМКЕ

Вначале для нас головоломка — это задача, решаемая методом «проб и ошибок» (иногда говорят — методом «тыка»), то есть своего рода математический эксперимент.

Постепенно интерес смещается в направлении осмысливания математической сути решаемой задачи: не удастся ли придумать экономный алгоритм (программу действий), выяснить условия существования, условия единственности решения, возможность обобщения?

В этом качестве иные головоломки становятся крепкими орешками, раскусывание которых доставляет умственное наслаждение.

Раскусите такой «орешек» (если придется по вкусу): Наберите к целых положительных чисел хи х2,…, хк (не обязательно различных), сумма и произведение которых одинаковы; в краткой записи:

Решение:

а) По условию а + b+3 +(к — 3)• 1 = 3аb. Упрощая, получим: 3аb — а — b = к. Умножим обе части равенства на 3 и прибавим по единице:

9аb — За — Зb + 1 = Зк + 1, откуда (За- 1)(Зb- 1) = 3k+1.

Натуральные а и b, удовлетворяющие этому равенству в случаях, когда 3k + 1 — составное число, образуют нестандартный комплект решений заданного вида.

б) В случае к = 84 имеем: Зк + 1 = 253 = 23 • 11.

Пусть За — 1 = 23 и Зb — 1 = 11, тогда а = 8, b = 4 образуют нестандартный комплект: 8, 4, 3 и 81 единиц. Действительно, 8 + 4 + 3 + 81 = 8*4‘3* 1^51.

Для случая А: = 42, как было показано (см. с. 439), непригодны комплекты видов а, Ъ и (к — 2) единиц, а, Ь, 2 и (к — 3) единиц, а, b,2,2и(к — 4) единиц. Невозможен и вид а, Ь, 3 и (к — 3) единиц, так как Зк+ 1 = 127 — простое число.
Надо предположить существование нового вида нестандартного комплекта решений, например, а, b, 2, 2, 2 и (к — 5) единиц. Теперь должно выполняться равенство a + b + 2 + 2 + 2 + (k— 5) = 2 • 2 • 2 • а *b, которое нетрудно привести к виду (8a — 1)(8b — 1) = 8(к + 1) + 1.

При к = 42 имеем: 8(к + 1) + 1 = 345 = 23 • 15. Если 8а —1 = 23 и 8b — 1 = 15, то а = 3, b = 2. Искомый комплект: 3, 2, 2, 2, 2 и 37 единиц. Действительно,

3 + 2 • 4 + 37 • 1 = 3 • 2^4 • 1^37.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка