Удивительная проницательность

Когда ребята навещают своего старого друга, бухгалтера Никанорова, он обязательно предлагает им что-нибудь посчитать.

И вот что удивительно: иной раз он даже не знает, какие числа складывали или вычитали ребята, а глянет на результат и сразу скажет, у кого правильный ответ получился, а у кого — неправильный.
— Ну-ка,— скажет он,— задумайте какое-либо четырехзначное число, каждый свое. Задумали? Так… Теперь переставьте первую цифру в конец числа. У вас получилось еще одно четырехзначное число. Сложите оба эти числа. Например, 1234+2341 =3575. А ну, скажите мне ваши результаты.
Коля: 8612,
Поля: 4322,
Толя: 9867,
Оля: 13859.
— Все ошиблись, кроме Толи.
Проверили. Действительно так.
Как это определил Никаноров?
Ведь он же совсем не знал, какие числа были задуманы ребятами!

Решение:

Все дело в том, что сумма таким образом задуманных чисел всегда будет кратна 11. Действительно, задуманное четырехзначное число [a][b][c][d] можно записать, как 1000а+100b+10c+d, а после перестановки первой цифры а в конец числа — как 1000b +100c+10d+a. Сумма этих чисел будет равна:
1000a+100b+10c+d+1000b+100c+10d+a=1001a+1100b+110c+11d
Нетрудно заметить, что каждое слагаемое суммы делится на 11.
Из чисел, названных Колей, Толей, Полей и Олей, только толин результат делится на 11.
Из этого можно сделать вывод, что Коля, Поля и Оля наверняка ошиблись, а толин результат может быть правильным.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка