ТРИ РАДИУСА В ОДНОЙ УПРЯЖКЕ

Геометрическим образом любой пифагоровой триады — с целыми или не целыми числами а, b, с — является прямоугольный треугольник ABC с катетами а, b, гипотенузой С и высотой h.


Снимок
Но, если «конь» — высота h, а «трепетные лани» — три радиуса: r, r’, r» окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники ABC, ACD, BCD, то образуется отличная «упряжка»:
h = r+r’ + r». Вы легко, красиво докажете справедливость этого равенства, если предварительно убедитесь, что в любом прямоугольном треугольнике:

2r= а + b — с,

где r — радиус вписанной окружности, а,b — катеты и с — гипотенуза.

Решение:

Полагаю, вы не только поверили, но и доказали самостоятельно справедливость утверждения, содержащегося в нашей подсказке : диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности между суммой его катетов и гипотенузой.

Исходя из этого свойства, имеем (см. рис.):

для треугольника ABC. 2r = а + b — с, для треугольника АСD. 2r’ =c+ h — b для треугольника BCD: 2r » = с» + h — а.

Складывая эти равенства и учитывая, что c’ + с» = с, получим 2(r+ r’ + r») = 2h, откуда r+ r’ + r» = h.
1



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка