Своеобразная прогулка

Двум мальчикам необходимо было совершить небольшое путешествие на велосипедах. В пути у одного из них поломался велосипед и пришлось его оставить для починки. Несмотря на это, мальчики решили не прерывать своего путешествия и продолжать его отчасти пешком, отчасти на велосипеде следующим образом.

Отправляются одновременно оба: один на велосипеде, другой пешком. В известном месте велосипедист оставит велосипед и будет продолжать свой путь пешком. Его спутник, дойдя до условленного места, сядет на велосипед и в тот момент, когда догонит своего товарища, вновь уступит ему велосипед, сам же будет продолжать путь пешком.
На каком расстоянии от конечного пункта их путешествия следует оставить велосипед в последний раз, чтобы оба мальчика одновременно достигли конечного пункта, если от места аварии до цели им осталось 60 км; пешком они передвигаются по 5 км, а на велосипеде — по 15 км в час.
Был ли выгодным для мальчиков такой способ передвижения?

Решение:

И здесь для решения и анализа задачи удобен графический способ. По вертикальной оси (рис. а) откладываем расстояния (в километрах), а по горизонтальной моменты времени (в часах). Масштабы произвольные.
Если весь путь совершается па велосипеде (по 15 км/час), то, как показывает конечная точка А графика О А, требуете и для этого 4 часа. Если же весь путь совершается пешком (без остановок, по 5 км/час), то, как показывает точка / графика ОВ, требуется для этого 12 часов. Но оба мальчике двигались попеременно пешком и на велосипеде и закончили свой путь одновременно, следовательно, графики их движений должны иметь общую конечную точку.
В условии задачи не сказано, сколько раз меняли мальчики способ своего передвижения. Предположим — по одному разу. В этом случае графики их движений должны образовать параллелограмм.
В самом деле, пусть график ОС движения велосипедиста сменился в некоторой точке С графиком СЕ, характеризующим пешеходное движение и, следовательно, параллельным ОВ.
График OD движения второго мальчика при перемене пешеходного движении па велосипедное «переламывается» в такой точке О, которая находится на одном уровне с точкой С относительно горизонтальной оси, так как этот мальчик должен дойти пешком до тою места, где товарищ оставил ему велосипед (то-есть пройти такой же путь, какой проехал на велосипеде первый мальчик). Остальную часть пути второй мальчик едет на велосипеде, следовательно, отрезок DE графика его движения на велосипеде параллелен О А.
Итак, фигура OCED — параллелограмм. Фигура CDBE— также параллелограмм (CE||DB и CD || BE).
Сопоставляя стороны параллелограммов, получаем: OD =
— СЕ и СЕ = DB. Отсюда OD — DB.
Следовательно, точки D и С соответствуют середине всего пути. В этом случае смена способа передвижения происходит только один раз на расстоянии 30 км от конечной цели прогулки мальчиков. Точка Е является серединой отрезка АВ н показывает, что при избранном мальчиками способе передвижения на весь путь им потребуется только 8 часов вместо
12 в случае, если бы весь путь они оба прошли пешком.
Но смена способов передвижения может произойти и не один раз. По условию задачи мальчик, едущий на велосипеде, догнав товарища, уступает ему велосипед, а сам продолжает путь пешком. Момент такой передачи велосипеда одним мальчиком другому характеризуется на нашей диаграмме точкой встречи графиков движения. Очевидно, что такой точкой, аналогичной точке Е, может быть и точка Е1 — середина отрезка CD.
Повторяя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно получить, например, следующие графики движения: OC1FE для первого мальчика н OD1E1E для второго мальчика. В этом случае перемена способа передвижения в последний раз происходит в 15 км от конечного пункта прогулки мальчиков (на рис. а уровень FO).

ScreenShot - 2013-07-31 в 17.57.02



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка