Сборные многоугольники

Строители могут теперь целый дом собрать из готовых частей (блоков), приготовленных на заводе. Почему бы и нам не попытаться осуществить аналогичное «строительство» в геометрии с той, правда, разницей, что «блоками» у нас будут многоугольники, причем одинаковые по форме и по размерам.

Представьте себе, что в вашем распоряжении имеется неограниченное количество равных между собой многоугольников. Требуется, плотно прикладывая многоугольники друг к другу, составить из них один многоугольник такой же формы, какую имеют данные многоугольники, но большего размера, точнее: составить многоугольник, подобный данным.
Прикладывая друг к другу многоугольники, разрешается их как угодно поворачивать и переворачивать, но не гнуть и не разрывать на части.
Не каждый многоугольник пригоден для этой цели. Так, например, равные правильные шестиугольники хорошо укладываются на плоскости (вспомните пол, выложенный метлахскими плитками), но составить из них один правильный шестиугольник невозможно.
Из равных квадратов или равных равносторонних треугольников легко составляются подобные им фигуры (рис. 1).

ScreenShot - 2013-07-24 в 13.33.11

Весьма пригодными «блоками для строительства» себе подобных фигур являются многоугольники, изображенные на рис. 2, и аналогичные им, которые можно образовать из равных квадратов (например, из клеток клетчатой бумаги) или из равных равносторонних треугольников.

ScreenShot - 2013-07-24 в 13.35.56

Составить многоугольники, подобные изображенным на рис. 2, можно как из 4 фигур каждого данного вида, так и из 9 или 16, или еще большего числа данных многоугольников.
На рис. 3 показано для примера, как из 4 многоугольников а) или б) или из 16 многоугольников в), изображенных на рис. 2, составляются подобные им фигуры.

ScreenShot - 2013-07-24 в 13.35.59

Для такого «сооружения» фигур, подобных данной, как видите, необходимо иметь не меньше чем 4 одинаковые первоначальные фигуры, а затем либо 9, либо 16, вообще n2 фигур, где я— определенное целое число.
И это вполне закономерно. Здесь практически подтверждается известная теорема геометрии о том, что площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответственных линейных размеров.
При составлении многоугольника из набора одинаковых, подобных ему многоугольников, мы можем ожидать, что длины его сторон будут больше длин соответствующих сторон первоначально данного многоугольника в 2 или в 3, 4, … , n раз. Тогда его площадь будет в 22 или в З2, 42, … , n2 раз больше площади первоначального многоугольника и, следовательно, для «строительства» требуемой фигуры понадобится соответственно 4 или 9,16, … , n2 первоначальных фигур.

Задача. Составьте многоугольники, подобные изображенным на рис. 2: 1) из 9 фигур a; 2) из 9 фигур б;
3) из 4 фигур в; 4) из 16 фигур б; 5) из 9 фигур в.
Приготовьте из бумаги (в прямую и косую клетку) другие «блоки», аналогичные изображенным на рис. 130 (нарежьте их в большом количестве), и устройте соревнование— кто быстрее и из меньшего числа многоугольников данного вида составит подобные им фигуры.

ScreenShot - 2013-07-24 в 13.38.17

Имейте в виду, что не каждый многоугольник можно составить из 4 или 9 подобных ему фигур.
Самым меньшим числом требующихся фигур может оказаться и 16, и 25, и 36, и вообще n2, где п—любое целое число. Заранее это число не известно, поэтому и интересно, кому удастся для составления многоугольника использовать наименьшее количество данных фигур. Примерные «блоки» изображены на рис. 4. Можете их разнообразить всячески, но помните при этом, что могут быть «блоки», из которых нельзя сложить подобную им фигуру.

Решение:

ScreenShot - 2013-07-24 в 13.28.50



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка