РЯД ИЗ ЧИСЕЛ, А САМ — НЕ ЧИСЛО

Суть этого интригующего утверждения в следующем: Пусть задана числовая последовательность

u1,u2, …, un, …

Это значит, что каждому натуральному п поставлено в соответствие число ы*. Выражение

u1+u2+ …+ un+ … (1)

составленное из членов последовательности, называется числовым рядом, а п-й член последовательности, и„ — общим членом ряда.

Общий член гармонического ряда иn =1/n. Всякий задан-

ный числовой ряд (1), в свою очередь, порождает новую числовую последовательность (Sn), где

Sn=u1+u2+ …+ un+ …

Ее называют последовательностью частичных сумм ряда. Если последовательность (Sn) сходится к какому-либо числу S, то есть, если lim Sn = S, то говорят, что ряд (1)

сходится, а число S называют суммой этого ряда. Так устанавливается понятие суммы бесконечного ряда.

В свою очередь, всякий сходящийся ряд можно понимать как некоторое разложение числа, к которому ряд сходится.

Если же (Sn) не имеет предела, то соответствующий ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд приходится воспринимать как абстрактное выражение, не представляющее никакого числа.

Именно таков гармонический ряд 1 +1/2 +1/3 +… +1/n + …

составлен из чисел, а сам — не число, так как является расходящимся рядом: складывая достаточно много его членов, сумму можно довести до сколь угодно большого числа.

Если интересует доказательство утверждения о расходимости гармонического ряда, а собственные усилия не привели к успеху, — загляните в учебщпс или справочник.

А пока приглашаю испытать себя в решении довольно замысловатой задачи:

Дан ряд

1 + х + 2x^2 + Зx^3 + 5х^4 + … + ax^n + bx^n+1 + (a + b)x^n+2 + …

Если при каких-либо значениях х ряд сходится к S(x), то для данного ряда можно найти соответствующие значения S. Как?

Решение:

Пусть х таково, что

5 = 1+х + 2х^2 + Зх^3 + 5х^4-+ 8x^5 +…. Тогда xS = х + x^2 + 2x^3 + Зх^4 + 5х^5 + 8x^6 +…, x^2S=х^2 + х^3 + 2х^4 + 3x^5 + 5x^6 + … и xS + x^2S=х + 2x^2+ 3x^3 + 5x^4 + 8x^5+ … = S- 1.

Образовалось равенство xS + x^2$ =S—1, откуда

S=1/(1-x-x^2)



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка