ПУТЬ ПОЗНАНИЯ УВЛЕКАТЕЛЕН, НО НЕ УСЫПАН РОЗАМИ

Еще одним подтверждением этой истины является «открытие» Шустрика, взбудоражившее весь класс и даже весь наш лицей.

Снимок
1

2
Вот как это было. Понадобилось нам проложить тропинку из пункта А в пункт В (рис. внизу) с обязательным заходом в точку С, принадлежащую прямой PQ, но еще не отмеченную на ней.

Требовалось найти эту точку при условии, что тропинка АС + СВ будет кратчайшей.

Конечно, многим известна и задача эта, и ее решение. Строится точка В1 симметричная точке В относительно прямой PQ (см. рис.). Прикладывается линейка к точкам
А и В1 тогда точка пересечения прямых АВ1 и PQ и есть искомая точка С.

— Докажите правильность решения, — потребовал учитель.

Мы рассуждали так: отрезки ВС и В1С равны, следовательно:

АС+ ВС = АС+ В1С = АВ1;

длина отрезка АВ1 выражает наименьшее расстояние между точками А и В1, а так как АС + ВС = АВ1 то точка С и есть искомая.

Как по-вашему: достаточно ли убедительно наше обоснование? Вы рассуждали бы иначе?

Впрочем, наши ребята и в книгах нашли аналогичные доказательства.

Прошел день, другой. Мы спокойно ждали очередного урока геометрии. И вдруг… все рухнуло.

— Прошу всех к доске, — с загадочным видом произнес Шустрик.

— Смотрите и удивляйтесь! На таком же чертеже я беру произвольную точку С прямой PQ. Продолжаю отрезок А С за точку С и откладываю СВ1 = СВ. Рассуждаю как прежде:
АС + СВ — АС + СВ1 — АВ1, а длина отрезка AB1 выражает наименьшее расстояние между точками А и В1. Значит и эта точка С — искомая. Парадокс: любая точка прямой может быть решением задачи!?

В чем же состоял логический изъян нашего первоначального, казалось бы, столь очевидного доказательства?

Решение:
11

22
Конечно, решением задачи является только точка С (см. рис.) полученная в первом построении. Но логический изъян в доказательстве состоял в том, что вместо особенностей интересующей нас суммы АС + СВ рассматривались особенности суммы АС + CBt. Верно, что эти суммы равны, но в то время, как сумма АС + СВ1 при любом положении точки С на прямой PQ обеспечивает наименьшее расстояние между точкой А и точкой В1 лежащей на продолжении АС, сумма АС + СВ будет наименьшей не при любом расположении точки С на прямой PQ. Вот это и надо доказывать. Надо, кроме первоначально полученной точки С, взять еще какую-либо точку C1 на прямой PQ (см. рис.). Тогда

AC1 + CB1>AB1.

Но так как BC1 = С1В1 то

АС1 + C1B = AQ + C1B1

и

АС1 + С1В > AB1t или АС1 + С1В > АС+ СВ.

Это и значит, что тропинка АС + СВ будет короче любой другой тропинки АС1 + C1B.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка