Пришельцы из Китая и Индии

Одной из наиболее древних и наиболее совершенных кросс-сумм являются так называемые волшебные (или магические) квадраты.
Придуманы волшебные квадраты впервые, повидимому, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000—5000 лет до нашей эры.

1

Старейший в мире волшебный квадрат китайцев представлен на рисунке. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа, белыми — нечетные (мужественные) числа. В обычной записи он не так эффектен:

11

И все же какой это великолепный образец кросс-сумм! Девять порядковых чисел размещены в девяти клетках квадрата так, что суммы чисел вдоль каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей одинаковы (основное свойство волшебного квадрата).

Более поздние сведения о волшебных квадратах, относящиеся уже к I веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндусских памятников почти 2000-летней давности:

111

Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство волшебного квадрата. Действительно:

1111

Каждое число волшебного квадрата участвует в двух суммах, а числа, расположенные по диагоналям, даже в трех, и все эти суммы равны между собой!

Недаром в ту далекую эпоху суеверий древние индусы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства.

Вся эта своеобразная мозаика чисел с ее постоянством сумм действительно придает волшебному квадрату «волшебную» силу произведения искусства. И это привлекло внимание не только математиков, но и художников.

В Западную Европу из Индии этот волшебный квадрат проник лишь в начале XVI века и так очаровал выдающегося немецкого художника, гравера и немного математика А. Дюрера, что художник даже воспроизвел его (в несколько измененном виде) в одной из своих гравюр («Меланхолия», 1514 г.).

Очарование этого волшебного квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится еще немало красивых свойств, помимо основного.

Укажем еще шесть дополнительных свойств приведенного выше шестнадцатиклеточного волшебного квадрата:

1) Сумма чисел, расположенных по углам нашего волшебного квадрата, равна 34, то-есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль каждого ряда квадрата.

2) Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате тоже одинаковы и каждая из них равна 34:

1 + 14+12+ 7 = 34,

8+11 + 13+ 2 = 34,

10+ 5+ 3+16 = 34,

15+ 4+ 6+ 9 = 34,

7+ 6+11 + 10 = 34.
3) В каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых 19.
4) Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:

12

Как видите, получились попарно равные суммы!

5) Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.

6) Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, то:

123

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон и каждая из этих сумм равна оиять-таки числу 34:

12 + 14 + 3 + 5 = 15 + 9 + 8 + 2 = 34;

б) еще интереснее то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

124

Если все столбцы волшебного квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то-есть числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т. д., то квадрат останется «волшебным» с теми же его свойствами.

При обмене местами отдельных строк или столбцов волшебного квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем местами первую и вторую строки данного квадрата:

31

Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Волшебный квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным волшебным квадратом».

Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые волшебные квадраты из 16 чисел. Некоторые из них снова будут полностью обладать основными свойствами.

Задача. Обменивая местами строки и столбцы данного волшебного квадрата, добейтесь такого расположения чисел, чтобы

1) выполнялись основные свойства волшебного квадрата (были бы равны суммы вдоль каждой строки, столбца и диагонали);

2) суммы квадратов чисел вдоль диагоналей были бы одинаковыми;

3) суммы кубов чисел вдоль диагоналей тоже были бы одинаковыми.

Решение:

211

233



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка