Превращение многоугольника в квадрат

Можно ли 2 каких угодно квадрата превратить в один?

Это значит, если я нарисую 2 произвольных квадрата, то найдете ли вы способ разрезать их на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат?
Первое общее решение этой задачи приписывается древнегреческому ученому Пифагору (VI век до начала нашего летоисчисления), но задачами превращения одной фигуры в другую занимались и индусские математики (в связи с развитием замечательного строительного искусства в древней Индии) еще за тысячу или полторы тысячи лет до Пифагора.

Интересно, что, имея 2 квадрата, можно заранее представить себе и тот третий квадрат, в который «укладываются» первые два. Для этого расположите данные квадраты А и В так, чтобы стороны одного служили продолжением сторон другого (рис. 109), и соедините отрезком с прямой линии две вершины, как показано на рис. 109. Образуется прямоугольный треугольник. Если теперь построить еще один квадрат С на стороне с (на гипотенузе) образовавшегося прямоугольного треугольника, то он и будет тем квадратом, который можно выложить из частей первых двух квадратов.

Но как же разрезать данные квадраты? За две с половиной тысячи лет, которые отделяют нас от Пифагора, придумано очень много практических способов решения этой задачи. Вот один из них — экономный и красивый.
Расположим данные квадраты в виде фигуры ABCDEF (рис. 2). Отложим на стороне AF отрезок FQ — AB и разрежем фигуру по прямым EQ и BQ. Переложим треугольник BAQ в положение ВСР, а треугольник EFQ — в положение EDP; образуется квадрат EQBP, содержащий в себе все части данных двух квадратов. Его сторона равна гипотенузе EQ прямоугольного треугольника EFQ, а стороны данных двух квадратов равны катетам EF и FQ.

(Читатель, знакомый с геометрией, например ученик 7-го класса, легко сам докажет равенство треугольников BAQ, ВСР, EFQ и EDP и то, что EQBP — квадрат. Это будет иным, по сравнению со школьным, доказательством теоремы Пифагора.)

А теперь перерисуйте на бумагу фигуру, представляющую собой соединение квадрата и прямоугольного равнобедренного треугольника (рис. 3); разрежьте эту фи-гуру только на 3 части и составьте из них квадрат.

ScreenShot - 2013-07-19 в 23.59.26

ScreenShot - 2013-07-20 в 00.00.44

Решение:

Способ разрезания аналогичен тому, который применялся в тексте задачи . Найдем середину АС (рис.). Пусть это будет точка К.

Отложим FQ = AK на стороне AF и DP=AK на продолжении CD.

Разрежем теперь фигуру по прямым линиям BQ и QE. Из полученных частей составляется квадрат BPEQ. Знающие геометрию обдумают доказательство.

Замечание. Способ решения не изменится, если треугольный выступ ABC окажется настолько большим, что точка С сольется с вершиной квадрата D, или даже если АС будет больше стороны квадрата AD, но меньше, чем 2AD, лишь бы только треугольник ABC был равнобедренным и прямоугольным.

ScreenShot - 2013-07-20 в 00.01.54



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка