Полотна художника

Один чудак-художник уверял меня, что самыми целесообразными размерами полотен для его произведений являются такие, при которых площадь полотна численно равна его периметру.

Не будем обсуждать вопрос, содействуют ли такие размеры полотен художественных произведений лучшему их восприятию, но попытаемся все-таки установить, какие же размеры (допустим, только в целых числах) должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь и периметр выражались одним и тем же числом.

Это не очень легкая задача, и все же одна из школьниц 6-го класса города Дзауджикау придумала весьма изящное ее решение. Девочка при этом даже доказала, что возможны всего лишь два прямоугольника,удовлетворяющих условию задачи.

Ну-ка, кто из вас «откроет» решение девочки или взамен придумает не менее остроумное свое решение этой задачи?

Решение:

Девочка из Дзауджикау предлагает взять сначала произвольный прямоугольник с целочисленными сторонами и разбить его на единичные квадраты (рис.). Рассмотрим теперь «каемку», шириной в одну квадратную клетку, при мыкающую к сторонам прямоугольника (на рис. а «каемк.1» заштрихована).

Площадь «каемки» — это уже часть площади прямоугол! ника, но число единичных квадратов в «каемке» всегда «л 4 единицы меньше, чем число, выражающее периметр примиугольника. Следовательно, оставшаяся «сердцевина» прямо-\ сольника (незаштрихованная часть на рис. 358, с) непременно должна содержать 4 единичных квадрата.

«Сердцевина» искомого прямоугольника — также прямоугольник. Но 4 единичных квадрата можно лишь двумя способами расположить в форме прямоугольника (незаштрихованные части на рис. б и в). Окаймляя их, мы получаем два решения:

1) квадрат 4X4;

2) прямоугольник 6X3.

Алгебраическое решение задачи приводит к неопределенному уравнению с двумя неизвестными. В самом деле, пусть размеры искомого прямоугольника хиу. Тогда его периметр равен 2(x+y), а площадь — ху.

По условию, 2(х+у)=ху.

Если х и у не обязательно целые, то это уравнение имеет бесчисленное множество решений, но в целых числах оно, как это следует из рассуждений нашей школьницы, имеет только три решения:

х=4, у=4; x=6, у=3;

х=3, у=6.

В геометрическом смысле последние два решения тождественны.

ScreenShot - 2013-07-20 в 00.19.51



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка