Парадокс

С числами Фибоначчи косвенно связан занятный геометрический парадокс.

Совершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, прикладывая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней; ни одной квадратной единицы не может ни прибавиться, ни убавиться. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных основных положений, на которых строится вся теория измерения площадей.

На 1 рисунке показано превращение квадрата в прямоугольник.

Квадрат разрезан на два равных треугольника и на две равные трапеции, длины сторон которых пока обозначены буквами х и у. Из этих частей составлен прямоугольник. Если такое превращение квадрата в прямоугольник действительно возможно, то на какие же части х и у надо при этом делить сторону квадрата?

Один мой юный друг решил установить это практически и натолкнулся при этом на поразительное явление.

— Дай, думаю, — пишет он в письме, — я сам проделаю это превращение практически. Я решил сам разметить свой квадрат, пользуясь указаниями рисунка.

Нарисовал я на клетчатой бумаге квадрат в 64 клетки и задумался над вопросом: на какие части х и у разделить сторону квадрата. Сначала я подумал, что это безразлично, и положил х = 6, у = 2. Разметил квадрат, разрезал его на два равных треугольника и две равные трапеции, начал составлять прямоугольник, как указано на рис. 235, и … ничего не вышло! Сплошного прямоугольника не получилось. Не получался сплошной прямоугольник и при других значениях х и у, например при

х=4 1/2 y = 3 1/2

Только при х = 5, у = 3 я смог составить прямоугольник из образовавшихся частей квадрата, но тут же был ошеломлен новой неприятностью: площадь прямоугольника оказалась равной 65 клеткам, то-есть на одну клетку большей, чем площадь первоначально взятого квадрата (рис.2).

В самом деле, длина прямоугольника должна содержать х+х+у = 2х+у = 2-5+3=13 единиц; у меня и получилось ровно 13 единиц; ширина прямоугольника х, и у меня получилась ширина прямоугольника 5 единиц (рис. 2). Отсюда его площадь содержит ровно 13*5 = 65 клеток! Проделайте сами!
1

2

3
Но это еще не все. По той же выкройке я делил на части и другой квадрат со стороной в 13 единиц. Если я брал x = 8 и у = 5, то из частей квадрата складывался прямоугольник, но … в этот раз с плошадью, меньшей площади квадрата, причем тоже ровно на 1 клетку.

Судите сами: площадь квадрата содержит 13^2 = 169 клеток, а площадь прямоугольника содержит (2х+у)х= = (2*8+5)-8= 168 клеток!

Еще два примера.

1) Беру квадрат в 21X21=441 клетку. Делю сторону на части x=13, y = 8. Разрезаю. Складываю. Прямоугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х = (2*13+8)*13 = 442 клетки!

Опять лишняя клетка.

2) Беру квадрат в 34 X 34 = 1156 клеток. Делю сторону на части л: = 21, у =13. Разрезаю. Складываю. Прямоугольник получается. Подсчитываю площадь:

(2х+у)х— (2*21+ 13)*21 = 1155 клеток.

Нехватает одной клетки!

Что за притча?! Почему так получается?

Что бы вы ответили моему юному другу? Обдумайте хорошенько весь этот парадокс, прежде чем прочтете решение. Какую роль в нем играют числа Фибоначчи?



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка