НЕОЖИДАННОЕ РОДСТВО ТРЕХ РАЗНЫХ ЗАДАЧ

Первая — из электротехники: какие натуральные значения надо придать сопротивлениям х и у, чтобы сопротивление z цепи (см. рис.), вычисляемое по формуле 1/X + 1/y + 1/z, также было натуральным числом?

Снимок

1

Это — просто! Очевидное тождество 1/m(m+n) + 1/m(m+n) = 1/mn

— вот ваш «компьютер», дающий кучу искомых значений: х — т(т + п), у = п(т + n),z — тп, где т и п — произвольные натуральные числа.

22
Вторая и третья — геометрические, а) При каких целочисленных значениях х, у, z ребер прямоугольного параллелепипеда (рис. вверху) будет целочисленной и его диагональ d?

б) При каких целочисленных значениях сторон а, Ь, с треугольника (рис. внизу) будет целочисленной и его площадь SP. Четверку таких чисел а, b, с, S называют героновой тетрадой.

Алгебраические связи между искомыми. Казалось, каждая потребует отдельной «программы» для нашего воображаемого компьютера. Но… сработала мысль и смекалка учителя математики А.А. Сапожкова, и возникла красивая «программа» — одна для всех трех задач:

Пусть z = п — любое натуральное число и х—п + а, у = п + B, где а и B — любая пара множителей числа n^2, (n^2 = а * B).

Теперь имеем (в натуральных числах):

1) 1/(n+a) + 1/(n+b) = 1/n

2) d=n+a+B

3)a=y^2+z^2, b=x^2+z^2,c=x^2+y^2,p=(a+b+c)/2 = d^2, S=x*y*z*d

Не сомневаюсь, что вы с удовольствием самостоятельно убедитесь в справедливости равенств 1 — 3 на частных примерах и в общем виде.

Еще одной — собственного сочинения — задачей АЛ. Сапожков возвращает нас к давно забытой форме стихотворного сюжета:

Сто три корзины вишенок на складе,

Да квадрат телят в квадрате Составляют два мильона, —

Для продажи на рынке района.

Сколько вишенок в корзину сложено И телят продать положено?

(Подразумевается, видимо, что в каждой корзине одинаковое количество вишенок.)

В переводе на язык алгебры предлагается решить уравнение
х^4 + 103y = 2 000 000.

Решение:

х^4 + 103у = 2 • 10^6 = 2^7- 5^6 = 128 • 25^3 = (25 + 103) • 25^3 =

— 25^4 + 103 • 25^3, откуда

х=25 и у = 25.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка