Кто вернется раньше?

Два спортсмена, тренируясь, одновременно начали лодочные гонки: один по реке, вниз и вверх по течению, а другой на такое же расстояние по озеру со стоячей водой, расположенному рядом с рекой. Допустим, что усилия обоих гребпов все время совершенно одинаковы. Который из них вернется раньше? Время, затрачиваемое на поворот, в расчет не принимается.

Примечание. Лет около сорока назад аналогичная задача впервые встретилась в практике воздухоплавания. Проводились авиационные состязания, по условиям которых летчики должны были облететь по периметру большое прямоугольное поле, отмеченное четырьмя столбами, причем столбы надо было огибать при поворотах.
Возник вопрос, одинаковы ли условия полета при ветре и без него?

Решение:

Нередко отвечают: «оба вернутся одновременно» Думающие так обосновывают свой ответ тем, что хотя спорт смен, гребущий по течению реки, опережает своего партнера на некоторое количество времени, но на обратном пути, против течения, он столько же времени теряет. Это — ошибочное представление. Текущая вода действительно сокращает время, когда лодка идет по течению, и уд линяет его, когда движение имеет противоположное направление; в одном случае река как бы помогает движению, в) другом — препятствует. Но помощь длится меньшее количество времени, чем сопротивление, значит, естественно ожидать, что спортсмен, плывущий по реке, вернется на старт позже спортсмена, плывущего по стоячей воде К тому же выводу приводит рассмотрение такого крайнего случая. Пусть собственная скорость передвижения лодки (т. е. скорость, которую могла бы иметь лодка в стоячей воде при том же напряжении сил гребца) равна скорости течения воды, тогда спортсмен, плывущий по реке, достигнет намеченной точки, двигаясь по течению, вдвое быстрее, чем его партнер в бассейне. Но когда первый спортсмен повернет обратно, река его остановит, и вернуться к месту отплытия вплавь он вообще не сможет. Перейдем к рассмотрению общего случая. Пусть скорость течения воды выражается величиной х, а собственная скорость передвижения лодки v. Тогда в стоячей воде на путь s в 5 один конец расходуется s/u единиц времени, а на такой же путь s по течению расходуется s/(u+x) единиц времени.
Выигрыш во времени равен s/u — s/(u+x) что после приведения к общему знаменателю дает: s/u — s/(u+x)=sx/u(u+x) единиц времени.
На тот же путь s против течения расходуется — s/(u-x) единиц времени и по сравнению с движением в стоячей воде проигрывается s/(u-x) — s/x=sx/u(u-x )единиц времени.
Сопоставляя дроби sx/u(u+) выигрыш и -sx/u(u-x)— проигрыш во времени при движении по реке, устанавливаем, что первая дробь меньше второй, так как она отличается от второй дроби только большим знаменателем. Следовательно, на реке больше проигрывается во времени при движении лодки против течения, чем выигрывается при движении ее по течению.
Итак, из двух гребцов вернется на старт раньше тот, который двигается в стоячей воде.
Проведите самостоятельно исследование такого вопроса: как изменение величины скорости течения воды будет влиять на проигрыш времени для гребца, плывущего по реке.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка