Крест и полумесяц

На рис. изображена фигура полумесяца (строго говоря, это не полумесяц, т. к. полумесяц имеет форму полукруга, а лунный серп), составленная двумя дугами окружностей.

Снимок
Требуется начертить знак Красного креста, площадь которого геометрически точно равнялась бы площади полумесяца.

Решение:
1

2

3

4

5

6

7

Читатели, слыхавшие о неразрешимости задачи квадратуры круга, сочтут, вероятно, и предлагаемую задачу неразрешимой строго геометрически. Раз нельзя превратить в равновеликий квадрат полный круг, то — думают многие — нельзя превратить в прямоугольную фигуру и луночку, составленную двумя дугами окружности.

Между тем, задача, безусловно, может быть решена геометрическим построением, если воспользоваться одним любопытным следствием общеизвестной Пифагоровой теоремы. Следствие, которое я имею в виду, гласит, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна полукругу, построенному на гипотенузе (рис. 1). Перекинув большой полукруг на другую сторону (рис. 2), видим, что обе заштрихованные луночки вместе равновелики треугольнику *). Если треугольник взять равнобедренный, то каждая луночка в отдельности будет равновелика половине этого треугольника (рис. 3).

Отсюда следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа.

А так как равнобедренный прямоугольный треугольник превращается в равновеликий квадрат (рис. 4), то и серп наш возможно чисто геометрическим построением заменить равновеликим квадратом.
Остается только превратить этот квадрат в равновеликую фигуру Красного креста (составленную, как известно, из пяти примкнутых друг к другу равных квадратов).

Существует несколько способов выполнения такого построения; два из них показаны на рис. 5 и 6; оба построения начинают с того, что соединяют вершины квадрата с серединами противоположных сторон.

Важное замечание: превратить в равновеликий крест можно только такую фигуру серпа, которая составлена из двух дуг окружностей: наружного полукруга и внутренней четверти окружности соответственно большего радиуса *).

Итак, вот ход построения креста, равновеликого серпу. Концы А и В серпа (рис.7) соединяют прямой;
в середине О этой прямой восставляют перпендикуляр и откладывают ОС = О А. Равнобедренный треугольник О АС дополняют до квадрата OADC, который превращают в крест одним из способов, указанных на рис. 5 и 6.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка