Из-за неудачных аналогий возможны ошибки

Некоторые умозаключения и даже целые открытия делаются по аналогии, в основе которой лежит предположение о сходстве двух предметов в одних признаках или свойствах на том основании, что эти же предметы сходны в других признаках.

Но аналогия ничего не доказывает. Она может только навести нас на мысль, правильность которой еще требует проверки, подтверждения.
Хорошо проведенная аналогия имеет место и в математике.
Ясно, что всякое обнаруженное сходство в математических действиях, в применении правил и т. д. облегчает решение задач, помогает мысли, однако же, наблюдая сходные свойства и признаки, не забывайте и о различии между ними.
Неудачные аналогии порождают неверные представления.
Бывает, спрашиваешь собеседника:
— На сколько единиц 40 больше, чем 32?
— На 8,—отвечает он без затруднений.
— А на сколько единиц 32 меньше, чем 40?
— Тоже, конечно, на 8.
— Правильно. Теперь прикиньте, на сколько процентов число 40 больше числа 32? Впрочем, не трудитесь! Я скажу, на сколько. Ровно на 25%. А вот, на сколько процентов число 32 меньше числа 40 — надо посчитать…
— Что ж тут считать,— перебивает собеседник,— вы же ведь сами только сейчас сказали, что сорок больше тридцати двух на 25%, значит, и тридцать два меньше сорока тоже на 25 %…

Приходится самым подробным образом разъяснять собеседнику его ошибку.
Разность, действительно, в обоих случаях одна и та же — 8. Но в первом случае мы ее относим к числу 32, принимаемому за 100%, а во втором случае — к числу 40, принимаемому за 100%. Восемь от сорока составляет 1/5, или 20%, Итак, 40 больше тридцати двух на 25%, в то время как 32 меньше сорока на 20%.
Причина ошибки собеседника — в ложной аналогии.
Предложите-ка своим знакомым такие задачи:
Задача 1. Допустим, ваш ежемесячный заработок увеличился на 30%. На сколько процентов возросла ваша покупательная способность?
Задача 2. Пусть ваш ежемесячный заработок неизменен, но цены на товары снижены на 30%- На сколько процентов повысилась ваша покупательная способность в этом случае?
Задача 3. Букинистический магазин при продаже книги сделал скидку в 10% с первоначально намеченной цены и при этом все же получил 8% прибыли. Сколько процентов прибыли предполагал первоначально получить магазин при продаже этой книги?
Задача 4. Если рабочий сократил время на изготовление детали на Р%, то на сколько процентов увеличилась производительность его труда?
Ошибочные ответы на эти простые вопросы вы встретите не так уж редко, но … предварительно проверьте себя.

Решение:
1) Если ежемесячный заработок увеличился на 30°/,, то и покупательная способность повысилась на столько жг
2) Если же заработок остается неизменным, но понижаются цены на товары на 30%, то покупательная способность поднимается не на 30%, как многие думают, а больше. В самом деле, если, скажем, на 1 руб. можно купить 1 предмет стоимостью в 1 руб., то после снижения его стоимости до 70 коп. (на 30%) на 1 руб. можно купить 100/70=10/7 предмета, то-есть на 3/7, предмета больше, а 3/7 — это пример но 43%.
3) Незаконная аналогия и здесь может привести к ошибочному ответу: 10 + 8 = 18%. В действительности пери» начально предполагавшаяся прибыль — 20%.
В самом деле, продавая книгу со скидкой в 10%, магазин получал 8% прибыли. Это значит, что 90% от назначенной цены составляют 108% себестоимости книги.
Нетрудно определить, сколько процентов себестоимости книги составляла бы вся назначенная цена.
Для решения этого вопроса составляем пропорцию:
90/100=108/х
Отсюда х=120%. Значит, первоначально предполагавшаяся прибыль — 2 0%.
4) Очень многие думают, что на сколько процентов сокращается время изготовления детали, на столько же процента должна увеличиваться производительность труда. Легко показать, что это — заблуждение.
Пусть на изготовление одной детали расходуется 1 час После сокращения расходуемого времени на p% оно буяна р/100 часа меньше, то-есть будет составлять 1 —р/100 часа. Значит, за 1 час будет изготовлена не одна деталь, а 1:(1-р/100)=100/(100-р), деталей, или на 100/(100-р)-1=р/(100-р) деталей больше.
Если этот прирост продукции выразить в процентах, то получится 100р/(100-р)% Так, если, например, норма времени сокращена на 50% (р = 50), то производительность труда возрастет не на 50%, а на 100%, то-есть удвоится.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка