Изменить расположение чисел

На концах пяти диаметров все порядковые числа от 1 до 10 расположены так, как показано на рисунке.

При таком расположении только в одном случае сумма двух соседних чисел равна сумме двух противоположно расположенных чисел, а именно:
10+1 = 5 + 6, но, например, 1+2≠6 + 7, или 2 + 3≠7 + 8.
Перерасположите данные числа так, чтобы сумма любых двух соседних чисел равнялась сумме соответствующих двух противоположно расположенных чисел.
Можно ожидать, что эта задача имеет не одно решение, то-есть разные расположения данных чисел удовлетворяют условию задачи.
Попытайтесь найти такой путь решения задачи, который позволил бы установить и число всех возможных решений.

1

Решение:

Если на концах какого-либо диаметра поместить числа A и а, а на концах соседнего диаметра поместить числа В и b, то по условию А+В=а+b. Отсюда А-а=b-В, то-есть разности противоположно расположенных чисел должны быть равны между собой.
В этом ключ к отысканию всех решений задачи.
Очевидно теперь, что для решения задачи надо разбить все данные целые числа от 1 до 10 на 5 пар с одинаковыми разностями чисел в каждой паре. Простое испытание показывает, что возможны только 2 группы пар, удовлетворяющих этому условию:
Расположив эти числа по кругу, получаем два основных решения (рисунке). Все остальные решения можно образовать из основных, перемещая пары чисел с одного диаметра

2

на другой, так как чередование пар внутри одной группы может быть произвольным.
Так, рядом с парой 1—2, разместившейся на первом диаметре, можно поместить на втором диаметре пару 4 — 3, или пары 6—5, 8—7, или 10—9.
Это дает четыре различных решения. В каждом из получающихся положений на третьем диаметре можно поместить любую из оставшихся трех пар. Это дает 4X3=12 решений. В каждом из них две возможности для размещения оставшихся двух пар на четвертом и пятом диаметрах. Это приводит к 12X2 = 24 решениям для каждой группы пар чисел.
Всех решений 48.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка