ЗАНЯТНЫЕ СТАЙКИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

Натуральное число, равное сумме своих делителей, разумеется, исключая делитель, равный самому числу, называется совершенным и обозначается символом Vn, где n — порядковый номер совершенного числа.

Самое меньшее: V1 = 6 (=1 + 2 + 3). Следующие по старшинству: v2 = 28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) и V3 — 496 (= 1 + 2 + 4 + 8+ 16 + + 31 + 62 + 124 + 248).

Лев Николаевич Толстой не раз бывало шутливо «похвалялся» тем, что дата его рождения (28 авг., по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Льва Толстого (1828) тоже интересное число:

а) последние две цифры (28) образуют совершенное число;

б) если обменять местами первые две цифры, то получится V4 = 8128 — четвертое совершенное число.

«Возраст» этих четырех совершенных чисел солидный, не менее 2000 лет. Пятое совершенное число Vs — 33550336 выявилось в 1460 г., а в 1644 г. француз Мерсенн (друг Ферма) нашел сразу четыре последующих совершенных числа (Мерсенн указал 6 чисел, но впоследствии выяснилось, что два из них не являются совершенными).

Нечетных совершенных чисел, по-видимому, не существует, но до сих пор это никем не доказано и не опровергнуто.

Л. Эйлер в 1750 г. доказал, что все четные совершенные числа могут быть представлены в виде произведения

2^(p-1) * (2^p — 1)

где р и 2^p — 1 — некоторые простые числа.

В такой форме теперь и записывают большие совершенные числа, например, V18 = 2^3216 • (2^3217 — 1).

Задача. Представьте каждое из известных вам совершенных чисел в виде произведения по формуле Эйлера и их же запишите в двоичной системе. Обнаружится любопытная закономерность в количестве единиц и нулей и их расположении в записи V„ по двоичной системе. Какая?

Решение:
Снимок
Взглянув на таблицу совершенных чисел, замечаем, что число единиц в двоичной записи совпадает с числом р в десятичной записи совершенного числа Vn = 2^Р-1 • (2^p— 1), а число нулей равно р — 1.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка