ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КВАРТЕТЫ

Возьмите любую пифагорову триаду, то есть три натуральных числа а, b, с, удовлетворяющих равенству a^2 + b^2 = c^2 и сформируйте из них два числовых квартета

(А, В, С, D) и (Е, F, G, H), где

A=(b+a+1)/2, B=(b-a+1)/2, C=D(c-1)/2, E=(b+a-1)/2, F=(b-a-1)/2, G=H=(c+1)/2,

тогда окажется, что

А + В+ С+D=E+F+ G+ Н

и
A^3 + b^3 + С^3 + D^3 = E^3 + F^3+ G^3 + H^3.

Например, имеем: 8^2 + 15^2 = 17^2, тогда

12 + 4 + 8 + 8=11 + 3 + 9 + 9

и

12^3 + 4^3 + 8^3 + 8^3 = 11^3 + 3^3 + 9^3 + 9^3.

Выясните: чем еще примечательны оба эти квартета в случае, когда исходная триада (а, b с) такова, что с — b = I? Испытайте, например, триаду (5,12,13).

Решение:
Если с — и = 1 (а триад с таким дополнительным свойством бесконечно много), то каждая из сумм (*) оказывается квадратным числом. В примере, где а = 5, и = 12, с = 13, имеем:
4 + 9 + 6 + 6 = 3 + 8 + 7 + 7 = 25 = 5:2,

4^3 + 9^3 + 6^3 + 6^3 = 3^3 + 8^3 + 7^3 + 7^3 = 1225 = 35^2.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка