Еще один способ получения простых чисел

Возьмем 1 и любое количество п первых простых чисел. Все эти числа произвольным образом распределим на 2 группы. Перемножим числа каждой группы; образуется два произведения. Если сумма или разность этих произведений даст число N, меньшее, чем квадрат (п + 1)-го простого числа, то N — простое число.

Возьмем, например, 1 и четыре первых простых числа, то-есть 1, 2, 3, 5 и 7. Пятое простое число 11. Заметим, что 11^2 = 121. Значит, указанным способом мы сможем образовать простые числа, меньшие, чем 121.
Распределим взятые числа на 2 группы: 2, 3, 5, 7 и 1. Образуем число: 2 • 3 • 5 • 7 — 1 = 209.

Так как получившееся число 209 больше 121, то поручиться за то, что оно простое, мы не можем. Действительно, в таблице простых чисел (см. 358) его нет.

Распределим взятые числа по-иному: 1, 3, 5, 7 и 2. Образуем два числа:

N1 = 1 -3-5-7—2 = 103, N2 = l-3-5-7 + 2 = 107.

Каждое из них меньше, чем 121, следовательно, оба должны быть простыми. В самом деле, если бы они были составными, то распадались бы на простые сомножители (см. стр. 342), но из способа образования этих чисел следует, что ни одно из них не делится на 2, 3, 5 или 7. Не могут числа Nл и делиться и на следующее, старшее простое число, то-есть на 11.

В самом деле, допустим, что N1 (или N2) делится на 11. Так как каждое из них меньше 121, то частное будет меньше 11 и, следовательно, не может содержать иных простых множителей, кроме 2, 3, 5 или 7. Но в таком случае N1 (или N2) делилось бы на какой-то из этих множителей, что противоречит способу образования числа N1 (или N2).

Если к первой группе отнесем числа 1, 5 и 7, а ко второй 2 и 3, то сможем образовать еще два простых числа:

1*5*7—2*3 = 29 и 1*5*7 + 2*3 = 41.

Еще несколько возможных комбинаций:

1*3*7 — 2*5=11, 1*3*7 + 2*5 = 31,

1*2*3*5 — 7 = 23, 1*2*3*5 + 7 = 37 и т. д.

Очевидно также, что можно повысить степень любого сомножителя первой или второй группы и сумма или разность произведений будут попрежнему давать простое число, если только они останутся меньшими, чем квадрат (п— 1)-го простого числа.

Действительно,

1*3*5*7 — 23 = 97, 1*3*5* 7 + 2^3=113,

1*5*7—2*3^2=17, 1 *5 *7 + 2 * З^2 = 53,

1*3*5^2— 2^2*7 = 47, 1*3*5^2 + 2^2*7=103 и т. д.

Составляя подобного рода комбинации всего лишь из трех чисел: 1, 2 и 3, можно образовать все простые числа, меньшие 25. Вы без больших затруднений сможете обосновать этот способ получения простых чисел.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка