Допустимо ли такое взвешивание?

Хорошие чашечные весы должны быть равноплечими (а = b, рисунок). На колхозном рынке открылся новый ларек по продаже бакалейных товаров. К сожалению, весы, доставленные в ларек, оказались немного неравноплечими, и пользоваться ими не разрешалось.

— Недоброкачественные весы завтра будут заменены правильными весами,— сказал директор продавцу,— а пока торгуйте только расфасованным товаром.
Перед самым окончанием времени торговли была продана последняя пачка расфасованного сахара, но пришел еще один покупатель, пожелавший купить 2 кг сахара. Продавцу не хотелось отпускать покупателя неудовлетворенным. Он решил воспользоваться неверными весами и предложил покупателю такой способ взвешивания:
— Я положу 1 кг гирь на левую чашку весов, не уравновешивая их, а сахар — на правую, а потом наоборот: гири на правую чашку, а сахар на левую. Я думаю, что это будет «справедливо, так как если в первом пакете у вас будет сахара немного менее 1 кг, то во втором— на столько же более.

Может ли покупатель согласиться с таким способом взвешивания?

Дополнительные вопросы. 1) Знаете ли вы о том, что существует способ (и даже не один) точного взвешивания на неправильных и неуравновешенных чашечных весах?

2) Как определить вес груза на неравноплечих, но предварительно уравновешенных весах?

ScreenShot - 2013-07-31 в 17.29.45

Решение:

Нет, не может. Истинный вес сахара, полученного покупателем, будет больше 2 кг.
Произведем расчет. Если весы — в равновесии, то равноплечие они или неравноплечие — все равно будет выполняться равенство ap = bq, где а и b — длины правого и левого плеч коромысла весов, а р и q — веса грузов на правой и левой чашках весов (рисунок).
По условию задачи, есть, и пусть 1 кг гирь соответствует в первом случае х кг сахара, а во втором у кг. Тогда а-1=bх и b*1 =ау. Отсюда x =a/b, а у=b/a, и общий вес сахара, купленного покупателем, равен x+y Но сумма любого положительного числа у (кроме 1) и числа, ему обратного: всегда больше 2. Действительно, (a — b)2>0, если а не равно b. Отсюда: а2 — 2ab+ b20 или a2 +b2>2ab.
Разделив обе части неравенства на ab, получаем:
a/b+b/a>2
Продавец, следовательно, ошибался, думая, что, взвешивая половину груза на одной чашке неравноплечих весов, а другую половину — на другой чашке, он получит правильный истинный вес всего груза. Истинный вес суммы двух «половин» груза всегда будет больше веса гирь.
Способы точного взвешивания на неправильных весах.
1) Уравновесить товар чем-либо, например дробью. Товар снять и вместо него па чашку весов поставить гири, уравновешивающие дробь. Эти гири и укажут вес товара.
2) «Взвесить» товар дважды, ставя гири сначала на одну чашку весов, а затем — па вторую. Если в первом случае «вес» товара р, а во втором — q, то истинный Bec = кв корень из p*q. Вы это легко докажете самостоятельно.

ScreenShot - 2013-07-31 в 17.35.55



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка