Десять цифр (наблюдение 1)

Почти во всем мире пользуются теперь единой системой счисления: десятичной. В этой системе употребляется десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0, и этих цифр достаточно, чтобы записать любое число.

Для примера, давайте образуем самое большое десятизначное число из всех десяти цифр, применяя обыкновенную, общепринятую форму записи числа. Вот оно:

9876543210.

Всякая перестановка цифр в этом числе приведет непременно к меньшему числу, не так ли?

Попутно любопытно было бы выяснить, сколько же различных целых десятизначных чисел можно записать при помощи десяти цифр, употребляя каждую цифру только по одному разу.

Миллион? Или меньше? Как это установить, не составляя, конечно, самих чисел?

Вытащим из этой груды чисел всего лишь шесть:

1037 246 958, 1 046 389 752, 1 286 375 904;

1307 624958, 1370258 694, 1462 938 570.

Что же интересного в этих с виду ничем не примечательных числах?

Разделите каждое из предложенных шести чисел на 2, а получившиеся частные — на 9. Готово? Первая операция привела к девятизначным числам. Вторая — к восьмизначным.

Появились ли повторяющиеся цифры хотя бы в одном из чисел, получившихся в результате первой и второй операции?

Далее, вторая операция привела к числам, которые не содержат цифру 9. Но если вы исчезнувшую девятку припишете в конце одного из этих чисел, то оно станет полным квадратом, то-есть таким числом, из которого «нацело» извлекается квадратный корень. Определите самостоятельно, какое из шести восьмизначных частных обладает этим свойством.

Решение:

По условию одно число от другого ДОЛЖНО отличаться ТОЛЬКО расположением цифр.

Возьмем одну цифру, скажем 1. Она может занять любое из десяти мест десятизначного числа Вот уже 10 возможных десятизначных чисел. В каждом из этих чисел остается по 9 свободных мест, и на любое из них можно поместить вторую цифру, скажем 2. Так образуется уже 10*9 = 90 чисел, в каждом из которых еще по 8 свободных мест для третьей цифры Заполняя свободные места по одному разу цифрой 3, образуем 10*9*8 = 720 чисел, в каждом из которых остается по 7 свободных мест для четвертой цифры. Все возможные варианты расстановки четвертой цифры (4) дадут 10*9*8*7=5040 чисел с шестью свободными местами в каждом.

Так, продолжая раз за разом подсчитывать псе возможные случаи расположения цифр, найдем, что 10 цифр на десяти местах можно разместить 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=3628800 способами. Но так как среди цифр есть нуль, то не во всех этих 3 628 800 случаях образовавшееся число будет десятизначным. Когда нуль на первом месте слева, например в числе 0 123 456 789, то он не считается значащей цифрой, число становится не десяти-, а девятизначным и условию не удовлетворяет. Каждая цифра должна побывать на первом месте одинаковое количество раз. Всех цифр 10. Следовательно, в части от 3 628 800 возможных случаев первой цифрой будет нуль, а число — девятизначным. В остальных же случаях (число которых можно сразу подсчитать, умножая на 3628800) будут получаться требуемые десятизначные числа. Итак, употребляя каждую из 10 цифр только по одному разу, 9/10 3628 800 можно составить (9*3628800)/10 = 3 205 920 десятизначных чисел.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка