Двадцать

Из четырех нечетных чисел легко составить сумму, равную 10, а именно:

1 + 1+3 + 5=10,
или так:
1 + 1 + 1+7=10.
Возможно и третье решение:
1+3 + 3 + 3=10.
Других решений нет (изменения в порядке следования слагаемых, конечно, не образуют новых решений).
Значительно больше различных решений имеет такая задача:
Составить число 20, складывая ровно восемь нечетных чисел, среди которых также разрешается иметь и одинаковые слагаемые.
Найдите все различные решения этой задачи и установите, сколько среди них будет таких сумм, которые содержат наибольшее число неодинаковых слагаемых?
Маленький совет. Если вы будете подбирать числа наудачу, то и в этом случае натолкнетесь на несколько решений, но бессистемные пробы не дадут уверенности в том, что вы исчерпали все решения. Если же в «способ проб» вы внесете некоторый порядок, систему, то ни одно из возможных решений от вас не ускользнет.

Решение:

Подобно тому, как заполнение ящика предметами разной величины начинают с наибольших предметов, так и составление заданной суммы лучше начинать с наибольших возможных слагаемых. По условию, слагаемыми должны быть восемь нечетных чисел.
Рассуждаем так.
Ни одно из чисел 19, 17 и 15 не может быть слагаемым, так как в каждом из этих случаев не наберется остальных семь слагаемых. Если взять слагаемым число 13, то для составления числа 20 необходимо и достаточно прибавить к 13 семь раз по 1:
13+1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=20.
Если первое слагаемое 11, то вторым слагаемым не могут быть 9, 7 или 5 (не набирается необходимого числа остальных слагаемых). Пробуем 3: 11+3=14. До 20. остается
6 единиц и нам нужно 6 слагаемых. Следовательно, получаем второе решение:
11+3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1= 20.
Берем первым слагаемым число 9. Семь не может быть вторым слагаемым (9 + 7 = 16; остается 4 единицы на 6 слагаемых).
Попробуем 5. Имеем: 9+5 = 14. На 6 слагаемых остается 6 единиц. Это возможно. Получаем третье решение:
9+5 + 1+ 1+ 1 + 1 + 1 +1 = 20.
Пробуем 3. Имеем: 9+3=12. Остается 8 единиц на 6 слагаемых. Прибавим еще 3. Тогда 9 +3 + 3 = 15. Остается
5 единиц на 5 слагаемых. Получаем четвертое решение:
9 + 3+ 3+ 1 + 1 +1+ 1 + 1 = 20.
Система проб, я думаю, теперь ясна. Продолжайте рассуждения самостоятельно, полагая первым слагаемым 7, а затем .5 и 3. Всего получится 11 следующих решений:

1

Есть только одно решение (шестое сверху), которое приводит к сумме, состоящей из наибольшего числа (из четырех) неодинаковых слагаемых.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка