А НУ-КА, ДЕВУШКИ, А НУ-КА, МАЛЬЧИКИ!

Как хорошо, что есть на белом свете дотошно-любознательные человечки (и малые, и взрослые). Такому человечку мало того удовольствия, которое испытывает он от погружения в безбрежный океан наших «завлекалок», — он еще стремится и сам подметить что-нибудь упущенное.

Предположим, мы, по только что (выше) изложенной программе, наработали комплект пифагоровых троек (а, b, с) — с нечетным катетом о: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41) — кучка I, и четно-четным (кратным 4) катетом a: (4,3,5), (8,15,17), (12,35,37) — кучка II.

Казалось бы, что в них особенного, кроме легко наблюдаемого постоянства разностей: с — b = 1 в кучке I и с — b = 2 в кучке II.

А от внимания дотошного человечка не ускользнули еще два вида любопытных соотношений:

для кучки I: З^2 = 4 + 5, 5^2 = 12 + 13, 7^2 = 24 + 25, 9^2 = 40 + 41 и тл.,

для кучки II: 4^2 = 2(3 + 5), 8^2 = 2(15 + 17), 12^2 = 2(35 + 37) и тд.

В скобках сумма двух последовательных нечетных чисел.

А ну-ка, мальчики, а ну-ка, девочки — докажите, что подмеченные соотношения — не случайность, а закономерность.

Более того, в этих соотношениях таится еще один ключ к фабрикации пифтроек в любом количестве.

Программа: принять любое нечетное число значением в и его квадрат представить суммой двух последовательных чисел — легко выполняется «в уме» — получившиеся слагаемые и есть b иc.

Например,

15 => 225 = 112 + 113 => (15,112,113);

или — иначе: принять значением а любое четно-четное число, то есть кратное 4, и половину его квадрата представить суммой двух последовательных нечетных чисел (b и с).

Например, 16 =>256=> 128 = 63 + 65 => (16, 63, 65).

Легко и изящно!

Решение:

Пусть а, Ь, с — пифагорова тройка. Имеем: a^2 + b^2 = c^2. Это равенство равносильно трем:

а = m^2 — n^2, b = 2mn, с = т^2 + п^2,

где т, п — произвольные натуральные числа.

Если да и л таковы, что m = n + 1, то а = (n + 1)^2 — n^2 = 2n + 1 — нечетное число.

Докажем, что

1) а^2 = b + с, причем с = b + 1, но

2) b^2 != а + с и

3) c^2 != а + b.



Это не спам.

 

На нашем сайте собраны задачи занимательной арифметики, математики, геометрии;
задачи на смекалку и логику, головоломки, логические загадки, игры, ребусы и многое другое
2017 © Самый умный - математическая смекалка